（五）用向量比较问题与材料
1. 从 NumPy 手算余弦相似度
先用第二章的字符串计数做一个能够手算的编码器。词表固定为“切片、共享、复制”，每个文本依次统计这三个词出现的次数。同一列始终表示同一个词，因此问题和文档可以放到相同的坐标系里比较。
"""先用可手算的关键词计数，解释文本怎样变成定长向量。"""
import numpy as np
vocabulary = ["切片", "共享", "复制"]
texts = ["切片介绍：切片共享数据。", "共享数据；复制后得到复制品。", "切片。"]
question = "切片共享"
# 每列的含义固定：第 0 列数切片，第 1 列数共享，第 2 列数复制。
documents = np.array([[text.count(word) for word in vocabulary] for text in texts], dtype=float)
query = np.array([question.count(word) for word in vocabulary], dtype=float)
assert documents.tolist() == [[2., 1., 0.], [0., 1., 2.], [1., 0., 0.]]
assert query.tolist() == [1., 1., 0.]
print("列：", vocabulary, "文档：", documents.tolist(), "问题：", query.tolist())第一篇材料中“切片”出现两次、“共享”出现一次，“复制”没出现，因此是 (2,1,0)；第二篇是 (0,1,2)，第三篇是 (1,0,0)。问题“切片共享”得到 q=(1,1,0)。这就得到了接下来手算所用的三个文档向量。
用第十一章的点积计算，q·d0=1×2+1×1+0×0=3。向量长度是各分量平方和的平方根，所以 ||q||=√(1²+1²+0²)=√2，||d0||=√5；除以双方长度，得到 3/√10≈0.948683。另外两项分别是 1/√10≈0.316228、1/√2≈0.707107；排序得到 d0、d2、d1。
"""逐项核对向量相似度：点积、长度、归一化与排序。"""
import numpy as np
query = np.array([1., 1., 0.])
documents = np.array([[2., 1., 0.], [0., 1., 2.], [1., 0., 0.]])
# 每一行是一篇文档，axis=1 得到三个文档各自的长度。
unit_query = query / np.linalg.norm(query)
unit_documents = documents / np.linalg.norm(documents, axis=1, keepdims=True)
scores = unit_documents @ unit_query
order = np.argsort(-scores)
np.testing.assert_allclose(scores, [3 / np.sqrt(10), 1 / np.sqrt(10), 1 / np.sqrt(2)])
assert order.tolist() == [0, 2, 1]
print("得分：", scores.round(6).tolist(), "前两项：", order[:2].tolist())
keepdims=True 让三个文档长度保留为 (3,1)，可以逐行除以自己的长度。归一化后，每个向量长度为 1，余弦比较就能用矩阵乘法完成。这里的得分不是正确率，也不是答案可信度。
np.linalg.norm 计算这里的向量长度；np.argsort 返回排序后的下标。给 scores 加负号后，从小到大排负数，就把较大的原始得分放到了前面。最后使用这些下标取回原文，而不只是输出一串分数。
换成问题“数据库”，这个三词词表会得到全零计数，说明当前表示没有保存它的信息。完整资料需要更丰富的表示，下面继续看项目怎样替换编码器。
2. 文本向量与语义向量
完整项目提供 CharacterEmbeddings：先转小写、去空白，把相邻两个字符组成一组，固定哈希到 4096 个位置，累计后归一化。这个实现让不同进程得到相同表示，用来观察检索的数据流。
它按字面重合比较文本。“副本”和“独立数据”语义接近，但字符不同，未必得到相近向量；哈希位置也可能碰撞。语义向量模型通过训练学习文本表示，适合进一步比较近义表达。两者都可以实现 Embeddings 接口：embed_documents 接收文档列表，embed_query 接收单个问题。
已经在本机准备向量模型时，可以通过 --embedding YOUR_EMBEDDING_MODEL 替换。项目用 langchain_ollama.OllamaEmbeddings 同时编码文档与问题。更换模型后重新建立文档索引，保持维度、模型版本与预处理一致。Ollama 向量接口