（七）链式法则与一次反向传播

1. 把复合计算拆成四步

沿着同一次预测，依次保存中间量：

想知道 w 改动对最终损失的影响，可以沿 w→z→预测→误差→损失 这条路径计算。链式法则把这几段变化率相乘。先从最后一步往回看：

$$\frac{\partial L}{\partial e}=2e=-6.$$

$$\frac{\partial e}{\partial\hat y}=1,\qquad \frac{\partial\hat y}{\partial z}=1.$$

损失传回预测和 z 的变化率都是 -6。再看参数所在的两条分支：$z=wx$ 对 w 的变化率是 x=2；$\hat y=z+b$ 对 b 的变化率是 1。所以：

$$\frac{\partial L}{\partial w}=(-6)\times1\times1\times2=-12.$$

$$\frac{\partial L}{\partial b}=(-6)\times1\times1=-6.$$

沿一条路径，把各段变化率相乘；同一个参数通过多条路径影响损失时，把各条路径的贡献相加。（十一）会让两条样本共用 w、b，逐项展示相加与平均的过程。

2. 按梯度反方向更新

把各参数的偏导组织起来，就是这里的梯度。取学习率 $\eta=0.05$，每个参数执行“原值减去学习率乘梯度”：

$$w_{new}=1-0.05\times(-12)=1.6.$$

$$b_{new}=0-0.05\times(-6)=0.3.$$

新预测是 $1.6\times2+0.3=3.5$，新损失是 $(3.5-5)^2=2.25$。负梯度让这两个参数在本次更新中增加，损失由 9 降到 2.25。学习率决定每次走多远，后面的曲线会继续观察多轮变化。