（十二）逐元素乘法、点积与矩阵乘法

1. 先手算第一个输出

两个二维数组的星号在相同位置相乘。矩阵乘法使用 @：左边一行与右边一列按位置相乘，再把这些乘积相加。

# 项目文件：demos/matrix.py
# 星号逐格相乘；矩阵乘法把左边一行与右边一列配对相乘再相加。
import numpy as np

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print("逐元素", (a * b).tolist())
print("矩阵乘法", (a @ b).tolist())
v, w = np.array([1, 2]), np.array([5, 7])
print("向量点积", (v @ w).item())
print("按行加权", (a @ w).tolist())
batch = np.stack((a, a * 2))
print("批量矩阵", (batch @ b).shape, (batch @ b).tolist())

对于 [[1,2],[3,4]] @ [[5,6],[7,8]]，左上角为 1×5+2×7=19；右上角为 1×6+2×8=22。逐项得到 [[19,22],[43,50]]。星号结果则为 [[5,12],[21,32]]。

左数组 shape 为 (m,k)，右数组为 (k,n)，同一个 k 对应被配对相乘并求和的轴，结果保留 m 行、n 列。[1,2] @ [5,7] 是两个向量的点积，得到标量 19；矩阵乘向量则给出每行的加权和。

2. 前面的轴表达批次

batch 的 shape 为 (2,2,2)，最后两轴是矩阵，最前一轴表示两份矩阵。与 (2,2) 的 b 做 @ 时，各批次分别做矩阵乘法，得到两份结果，shape 仍为 (2,2,2)。

matmul 对最后两个轴执行矩阵乘法，前面的轴按广播方式配对；先读出矩阵的行列，再看批次怎样对应。矩阵乘法