（十七）按记录配对计算均方误差

1. 预测、残差、平方与平均

自拟三条目标为 [2,4,6]，预测为 [1,4,7]。残差用预测减目标，得到 [−1,0,1]；平方后为 [1,0,1]，平均为 2/3。平方让正负偏差不会互相抵消。

$J=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\hat y_i-y_i)^2.$

这叫均方误差（mean squared error，MSE）。n 是记录数，每个预测只和同一条记录的目标配对。

# 项目文件：demos/mse_shapes.py
# 同一条记录的预测与目标必须配对；一维目标和列形预测会扩展成全部组合。
import numpy as np

y = np.array([2.0, 4.0, 6.0])
prediction = np.array([1.0, 4.0, 7.0])
error = prediction - y
print(
    "残差",
    error.tolist(),
    "平方",
    (error**2).tolist(),
    "均方",
    float(np.mean(error**2)),
)
wrong = prediction[:, None] - y
print("错误配对形状", wrong.shape, "错误均方", float(np.mean(wrong**2)))

两个一维数组都是 (3,)，相减后仍是 (3,)。若预测改成 (3,1)、目标仍为 (3,)，广播会生成 (3,3)：每一个预测分别减去全部目标，错误均方约为 8.666667。计算前核对 shape，就是在核对“哪些记录正在相互配对”。